Kuartil , Desil , Presentil, Range dan Jangkauan Semi Interkuartil

1. KUARTIL

Kuartil merupakan nilai – nilai yang membagi data yang telah diurutkan menjadi 4 bagian yang sama, sehingga dalam suatu gugusan data didapati 3 kuartil: kuartil 1 (Kuarti bawah), kuartil 2 (Kuartil Tengah/Median)dan kuartil 3 (Kuarti Atas). Ukuran – ukuran ini sering dilambangkan Q₁, Q₂, Q_{3 .} Sehingga ada 25% data kurang dari Q₁, ada 50% data kurang dari Q₂ dan ada 75% data kurang dari Q_3.

            Q1                 Q2                   Q3

¼ of items      ¼ of items      ¼ of items       ¼ of items

Untuk menentukan nilai kuartil perlu diperhatikan langkah – langkah berikut:

1. Susun data menurut nilainya, urutkan dari yang terkecil dampai yang paling besar.
2. Tentukan letak kuartil.
3. Tentukan nilai kuartil.

PENYELESAIAN DALAM DATA TUNGGAL

Letak Kuartil: Q_k = k (N+1) / 4

Di mana:

k : 1, 2, 3

Q_k : Kuartil ke k

N : Banyaknya data

Contoh :

Tentukan letak Q₁, Q₂ dan Q₃ serta nilainya dari data berikut :

35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, 95.

Penyelesaian:

25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95

Letak Kuartil Q₁:

Q_k =  k (N+1) / 4
Q_{k = 1 (9+1) / 4}

Q_k = 2,5

Jadi, Q₁ terletak diantara data ke-2 dan data ke-3. Karna hasilnya berbentuk pecahan.

Maka nilai Q₁ :

= Data ke-2 + (data ke-3 – data ke-2)

= 35 + (40 -35)

= 35 + (5)

= 37,5

Letak Kuartil Q₂:

Q_k = k (N+1) / 4

Q_k = 2 (9+1) / 4

Q_k = 5

Jadi, Q₂ terletak pada data ke-5

Maka nilai Q₂ adalah 61, karna hasilnya bilangan bulat sehingga letak Q₂ tepat di data ke-5

Letak Kuartil Q₃:

Q_k =  k (N+1) / 4

Q_{k =  3 (9+1) / 4}

Q_k = 7,5

Jadi, Q₃ terletak diantara data ke-7 dan data ke-8.

Maka nilai Q₃ :

= Data ke-7 + (data ke-8 – data ke-7)

= 80 + (91 -80)

= 80 + (11)

= 85,5

2. DESIL

Desil adalah ukuran-ukuran yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama. Ukuran-ukuran ini dilambangkan D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆,D₇,D₈ ,D₉ . Sehingga ada 10% data kurang dari D₁, ada 20% data kurang dari D₂, ada 30% data kurang dari D₃ dan data hingga 90% data kurang dari D₉.

PENYELESAIANDALAM DATA TUNGGAL

Letak Desil : D_k = k (N+1) / 10

Di mana:

k     :  1, 2, 3

D_k  :  Desil ke k

N    :  Banyaknya data

Contoh :

Cari letak dan nilai D₂ ,D₄ dan D₆ dari data sebagai berikut :

30, 46, 47, 50, 35, 25, 40, 40, 55, 60, 70, 80, 90.

Penyelesaian :

25, 30, 35, 40, 40, 46, 47, 50, 55, 60, 70, 80, 90

Untuk D_{2 =} k (N+1) / 10

Untuk D2 = 2 (13+1) / 10

           D₂ = 2,8

Jadi, letak D₂ ada diantara data ke-2 dan data ke-3. Karna hasilnya berbentuk pecahan.

Maka nilai D₂ :

= Data ke-2 + 0,8 (data ke-3 – data ke-2)

= 30 + 0,8 (35 -30)

= 30 + 0,8 (5)

= 30 + 4

= 34

Untuk D₄ :

Letak D₄ =  k (N+1) / 10

Letak D₄ = 4 (13+1) / 4

Letak D_{4 =  5,6}

Jadi, letak D₄ ada diantara data ke-5 dan data ke-6. Karna hasilnya berbentuk pecahan.

Maka nilai D₄ :

= Data ke-4 + 0,6 (data ke-6 – data ke-5)

= 40 + 0,6 (46 -40)

= 40 + 0,6 (6)

= 40 + 3,6

= 43,6

Untuk D₆ :

Letak D₆ = k (N+1) / 10

Letak D₆ = 6 (13+1) / 10

Letak D₆ =  8,4

Jadi, letak D₆ ada diantara data ke-8 dan data ke-9. Karna hasilnya berbentuk pecahan.

Maka nilai D₆ :

= Data ke-6 + 0,4 (data ke-9 – data ke-8)

= 46 + 0,4 (55 -50)

= 46 + 0,4 (5)

= 46 + 2

= 48

3. PERSENTIL

Persentil adalah ukuran-ukuran yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama. Ukuran-ukuran ini dilambangkan dengan P₁, P₂, P₃, P₄, …. P₁₀₀, . Sehingga ada 1% data kurang dari P₁, ada 2% data kurang dari P₂, ada 3% data kurang dari P₃ dan data hingga 99% data kurang dari P₁₀₀.

PENYELESAIANDALAM DATA TUNGGAL

Letak Persentil : P_k = k (N+1) / 100

Di mana:

k : 1, 2, 3

P_k : Persentil ke k

N : Banyaknya data

Contoh :

Cari letak dan nilai P₂₀ dari data sebagai berikut :

35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, 95

Penyelesaian :

25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95

Untuk P₂₀ :

Letak P₂₀  =  k (N+1) / 100

Letak P₂₀  = 20 (9+1) / 100
Letak P₂₀  = 2

Jadi, P₂₀ terletak pada data ke-2, yaitu 35.

PENYELESAIANDALAM DATA KELOMPOK

Letak Persentil : P_k = (k/100) . N

Di mana :

k : 1, 2, 3

P_k : Persentil ke k

N : Banyaknya data

Nilai Persentil : P_k = B_{b + (( ( k / 100 ) . N  -} Cfb )  / f_{d ) . i}

Di mana :

P_k : Persentil ke k yang kita cari

B_b : Batas bawah kelas yang mengandung P_k

N : Jumlah frekuensi dalam distribusi

cf_b : Frekuensi komulatif sebelum interfal yang mengandung P_k

f_d : Frekuensi dalam interval yang mengandung P_k

i : lebar interval

Contoh :

Tentukan letak P₅₀ serta nilainya dari data berikut :

Kelas Interval	f	fk
31 – 40	1	1
41 – 50	2	3
51 – 60	5	8
61 – 70	15	23
71 – 80	20	43
81 – 90	25	68
91 – 100	12	80

Penyelasaian :

Untuk P₅₀ :

Letak P₅₀ = (k/100) . N

     = (50 / 100) . 80

     = 40

D_k = 50 ,B_b = 70,5 ,N = 80 , cf_b = 23 , f_d = 20 , I = 10

Nilai Persentil : 

 P₅₀ = B_{b + (( ( k / 100 ) . N  -} Cfb )  / f_{d ) . i}

        = 70,5 + (( (50 / 100 ) . 80 - 23 ) / 20 ) . 10

        = 70,5 + (( 40 - 23 ) / 20 ). 10

        = 70,5 + (( 17 / 20 ). 10

        = 70,5 + 8,5

        = 79

4. RANGE (Jangkauan)

Range adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum dalam suatu gugus data.

PENYELESAIAN DALAM DATA TUNGGAL

Besarnya range untuk data tunggal adalah R = X_max-X_min

Contoh :

Tentukan nilai Range dari data berikut :

5, 5, 1, 6, 6, 3, 7

Penyelesaian :

R = X_max-X_min

R = 7 – 5

= 2

PENYELESAIANDALAM DATA KELOMPOK

Besarnya range untuk data kelompok adalah :

R = Batas bawah kelas terakhir – batas bawah kelas pertama, atau

R = Nilai tengah tertinggi – nilai tengah terbawah

Contoh :

Tentukan Range dari data berikut :

Kelas Interval	f	fk	X1
31 – 40	1	1	35,5
41 – 50	2	3	45,5
51 – 60	5	8	55,5
61 – 70	15	23	65,5
71 – 80	20	43	75,5
81 – 90	25	68	85,5
91 – 100	12	80	95,5

Penyelasaian :

R = Batas bawah kelas terakhir – batas bawah kelas pertama

R = 91 – 31

R = 60

Atau

R = Nilai tengah tertinggi – nilai tengah terbawah

R = 35,5 – 95,5

R = 6

5. JANGKAUAN SEMI INTERKUARTIL

Jika Q₁ dan Q₃ berturut – turut menyatakan kuartil 1 (kuartil bawah) dan kuartil ke 3 (kuartil atas), maka nilai jangkauan semi interkuartil yang dilambangkan Q_d, dirumuskan dengan

Q_d = (Q₃ – Q₁). Jangkauan semi interkuartil disebut juga dengan simpangan kuartil.

PENYELESAIANDALAM DATA TUNGGAL

Contoh :

Tentukan nilai Jangkauan Semi Interkuartil dari data berikut :

25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95

Penyelesaian :

Terlebih dahulu kita menghitung kuartil bawah Q₁ dan kuartil atas Q₃

Letak Kuartil Q₁: k (N+1) / 4

                       Q_k = 1 (9+1) / 4

                       Q_k = = 2,5

Jadi, Q₁ terletak diantara data ke-2 dan data ke-3. Karna hasilnya berbentuk pecahan.

Maka nilai Q₁ :

= Data ke-2 + (data ke-3 – data ke-2)

= 35 + (40 -35)

= 35 + (5)

= 37,5

Letak Kuartil Q₃:

Q_k = k (N+1) /4

Q_k = 3 (9+1) / 4

Qk = 7,5

Jadi, Q₃ terletak diantara data ke-7 dan data ke-8.

Maka nilai Q₃ :

= Data ke-7 + (data ke-8 – data ke-7)

= 80 + (91 -80)

= 80 + (11)

= 85,5

Jadi, jangkauan semi interkuartil :

Q_d = (Q₃ – Q₁)

= (85,5 – 37,5)

= (48)

= 24

PENYELESAIANDALAM DATA KELOMPOK

Tentukan Jangkauan Semi Interkuartil dari data berikut :

Kelas Interval	f	fk
31 – 40	1	1
41 – 50	2	3
51 – 60	5	8
61 – 70	15	23
71 – 80	20	43
81 – 90	25	68
91 – 100	12	80

Penyelasaian :

Terlebih dahulu kita menghitung kuartil bawah Q₁ dan kuartil atas Q₃

Untuk Q₁ :

Letak Q₁ = k / 4 . N

    = 1 / 4 . 80 

    = 20

Q_k = 1 ,B_b = 60,5 ,N = 80 , Cf_b = 8 , f_d = 15 , i = 10

Nilai Kuartil : Q₁ = B_b + (( ( k / 4 ) . N  - Cfb )  / f_{d ) . i}

                             = 60,5 + (( ( 1/4 ) . 80 - 8 ) / 15). 10

                             = 60,5 + (12/15). 10

                             = 60,5 + 8

                             = 68,5

Untuk Q₃ :

Letak Q₃ = k/4 .N

                    _{= 3/4} . 80

                = 60

Q_k = 3 ,B_b = 80,5 ,N = 80 , cf_b = 43 , f_d = 25 , I = 10

Nilai Kuartil : Q₃ = B_b + (( ( k / 4 ) . N  - Cfb )  / f_{d ) . i}

                             = 80,5 + (( ( 3/4 ) . 80 - 43 ) / 25). 10

                             = 80,5 + (60 - 43) / 25 ) .10

                             = 80,5 + (17 / 25 ) .10

                             = 80,5 + 6,8

                             = 87,3

Jadi, jangkauan semi interkuartil :

Q_d = (Q₃ – Q₁)

= (87,3 – 68,5 )

= (188,8)

= 19,4